Ақырсыз қосынды

ҚАТАР, ақырсыз қосынды – бір сызықтық топологиялық кеңістік элементтерінің (қатар мүшелерінің) тізбегі және олардың шек ұғымы анықталған шекті қосындыларының (қатардың дербес қосындыларының) шекті жиыны. Шексіз қосындылар ұғымы  (шексіз кемімелі геом. прогрессия мүшелерінің қосындысы) туралы деректер ертедегі грек ғалымдарының еңбектерінде кездеседі. Дербес ұғым ретінде Қ. ұғымы математикада 17 ғ-да И.Ньютон және Г.Лейбниц (1646 – 1716) еңбектерінде қолданыла бастады. 18 – 19 ғ-ларда формалды қатар теоремасы Я.Бернулли (1654 – 1705) және И.Бернулли (1667 – 1748), Б.Тейлор (1685 – 1731), К.Маклорен (1698 – 1746), Л.Эйлер (1707 – 83), Ж.ДАламбер, Ж.Лагранж (1736 – 1813) еңбектерінде дамыды. Қ-лардың қазіргі заманғы теориясы 19 ғ-да шек ұғымының негізінде К.Гаусс, Б.Больцано (1781 – 1848), О.Коши (1789 – 1857), П.Дирихле (1805 – 59), Н.Абель (1802 – 29), К.Вейерштрасс (1815 – 97), Б.Риман (1826 – 66) еңбектерінде қалыптасты.

Қатарлардың ең қарапайым түрі бір еселі сандық қатарлар.

Sn=a1+a2+...+an (n=1,2,...)   (1)

түрінде берілетін қос {an} және {Sn} комплекс (нақты) сандар тізбегі сандық Қ. деп аталады. Ол былай белгіленеді: a1+a2+...+an+..., немесе                       (2)

{an} тізбегінің элементтері Қ-дың мүшелері деп, ал {Sn} тізбегінің элементтері оның дербес қосындылары деп аталады, сондай-ақ an – Қ-дың n-і мүшесі деп, ал Sn – оның n-і дербес қосындысы деп аталады. Қ. {an}  және {Sn} тізбектерінің әрқайсысымен толық анықтала береді. Егер {Sn} дербес қосындылар тізбегінің шекті  шегі бар болса, онда (2) Қ. жинақты деп, ал оның шекті шегі болмаса жинақсыз деп аталады. Егер (2)-і сандық Қ. жинақты болса, онда оның мүшелер тізбегі нөлге ұмтылады: . Егер (2)-і Қ-дың барлық мүшелері нақты сандар болса, онда Қ. нақты сандар қатары деп аталады. Қ-лар теориясында оң мүшелі Қ-лардың орны ерекше:  an0, (n=1, 2,...).

Оң мүшелі Қ-лар жинақталуының жеткілікті белгілеріне: салыстыру, Даламбер, радикалдық және интегралдық Коши, Бертран, Гаусс, Ермаков, Куммер, Раабе белгілері жатады. Сандық Қ-дың тағы бір маңызды түрі абсолютті жинақты Қ. Егер  Қ-ы жинақты болса, онда (2)-і Қ. абсолютті жинақты деп аталады және оның қосындысы қосылғыштардың орналасу ретіне тәуелсіз болады. Жинақталатын, бірақ абсолютті жинақсыз Қ-лар шартты жинақты Қ-лар деп аталады, олардың қосындысы оның мүшелерінің орналасу ретіне тәуелді. Әр түрлі таңбалы сандық Қ-лардың ішінде ауыспалы таңбалы Қ-лар ерекше орын алады. Олардың жинақталуын Лейбниц белгісі арқылы анықтайды.

Егер Қ-дың мүшелері бір немесе бірнеше айнымалы функциялар болып келсе, онда ол функционалды Қ. деп аталады:

  xX                  (3)

Егер кез келген x0X үшін  сандық Қ. жинақты болса, онда (3)-і қатар Х жиынында жинақты деп аталады. Мүшелері үзіліссіз функциялар болатын Х жиынында жинақты Қ-дың қосындысы үзіліссіз функция болмауы мүмкін. Шекті қосындылардың үзіліссіздік, дифференциалдық және интегралдық қасиеттері тек бір қалыпты жинақты Қ-лар үшін орындалады. Ғылым мен техникада функционалдық Қ-лардың дәрежелік Қ-лар, Фурье Қ-лары, Дирихле Қ-лары сияқты дербес түрлері кеңінен қолданылады.

Әдеб.: Харди Г., Расходящие-ся ряды, пер. с англ., М., 1951; Бахвалов Н.С., Численные методы, 2 изд. М., 1975; Никольский С.М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1 – 2, М., 1975.

Ә. Түнғатаров

"Қазақ энциклопедиясы"

Қысқа да нұсқа. Жазылыңыз telegram - ға